アチーブメントは配信者向けの機能で、ダッシュボード上で確認できます。
https://dashboard.twitch.tv/u/xxx/achievements”xxx”となっているところを自分のチャンネルID（アルファベット）に置き換えると自身のアチーブメントをご覧になれます。また、単にダッシュボード上の左タブから『アチーブメント』を選択することでも見ることができます。
アチーブメントとは
『初めての配信を開始する』、『200人のフォロワーを獲得する』と言ったような様々なアチーブメントがあり、アチーブメントを達成するとアイコンに色が付きます。
アチーブメントを達成することでTwitch配信を行う上で有利になるということはありません。アチーブメントは、PSで言うトロフィー機能、XBOXで言う実績機能のようなものです。
アフィリエイト、パートナーについて
今までTwitchアフィリエイト、またはTwitchパートナーになる方法については明確な方法が記されておらず、かなりファジーなものでした。
しかし、アチーブメント実装の結果、それらが明確になりました。
Twitchアフィリエイトになるには、『過去30日間で8時間の配信を行う』、『過去30日間で7日以上配信する』、『過去30日間で3人の平均視聴者数を獲得する』、『50人のフォロワーを獲得する』のアチーブメントを達成する必要があります。
また、Twitchパートナーになるには『過去30日間で25時間の配信を行う』、『過去30日間で12日以上配信する』、『過去30日間で75人の平均視聴者数を獲得する』のアチーブメントを達成する必要があります。パートナーはアフィリエイトと比べるとかなり条件が厳し目に感じますね。
なお、一度条件を達成してTwitchアフィリエイト、またはTwitchパートナーになってさえしまえばその後条件を外してしまったとしてもパートナー等の資格を剥奪されるということはありません。